Montrer que pour tout \(s\in\mathbb{C}\), l’intégrale curviligne \[ \mathrm{L}[f](s) = \int_{\gamma_r} f(z) e^{-sz} \, dz \] est bien définie et ne dépend pas du choix de \(r > \ell\).

Donner (sans justification) la valeur de l’indice \(j(0,\gamma_r)\). En déduire la valeur de \(j(a,\gamma_r)\) pour tout \(a \in [0, \ell]\).

Calculer \(\mathrm{L}[g](s)\) pour tout \(s\in\mathbb{C}\) lorsque \(\ell=0\) et \[ \forall \, z \in \mathbb{C}^*, \; g(z) = -\frac{1}{i2\pi} \frac{1}{z}. \]

Déterminer pour \(s \in \mathbb{C}^*\) la valeur de \(\mathrm{L}[f'](s)\) en fonction de \(\mathrm{L}[f](s)\) (indication: on pourra justifier l’existence et calculer la dérivée de \(z \mapsto f(z) e^{-sz}\)).

Soit \(f_{1}\) la fonction holomorphe sur \(\mathbb{C} \setminus [0,\ell+1]\) définie par \[ f_{1}(z) = f(z-1). \] Déterminer \(\mathrm{L}[f_1](s)\) pour tout \(s\in\mathbb{C}\).

Montrer que la fonction \[ h(z) = -\frac{1}{i2\pi} \log_{-\pi} \frac{z}{z-1} \] est définie et holomorphe sur \(\mathbb{C} \setminus [0, 1]\). Déterminer sa dérivée et en déduire la valeur de \(\mathrm{L}[h](s)\) pour \(s \in \mathbb{C}^*\).

Montrer que la fonction \[s \in \mathbb{C} \mapsto \mathrm{L}[h](s)\] est holomorphe (on pourra développer \(e^{-sz}\) en série entière).

Quelle est la valeur de \(\mathrm{L}[h](0)\) ?

1. Montrer que la fonction \(\phi: (x, y) \in \mathbb{C} \mapsto x^2 - y^2\) n’est pas holomorphe.

2. Montrer qu’elle est par contre la partie réelle d’une fonction holomorphe que l’on déterminera.

3. En déduire qu’elle appartient à \(\mathrm{Har}(\mathbb{C})\).

1. Montrer que si la fonction \(\phi = f + \overline{g} \in \mathrm{Har}(\Omega)\), alors elle est \(\mathbb{R}\)-différentiable.

2. Déterminer cette différentielle \(d\phi\) en fonction de \(f'\) et \(g'\).

3. En déduire pour tout \(z = (x,y) \in \Omega\) les relations \[ f'(z) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\partial \phi}{\partial x}(x,y) - i \frac{\partial \phi}{\partial y}(x,y) \right] \] et \[ g'(z) = \overline{\frac{1}{2} \left[ \frac{\partial \phi}{\partial x}(x,y) + i \frac{\partial \phi}{\partial y}(x,y) \right]}, \]

4. Est-ce que la fonction \(\phi:(x,y) \in\mathbb{C} \mapsto x^2 + y^2\) appartient à \(\mathrm{Har}(\Omega)\) ?

1. Montrer que si \(\phi = f + \overline{g}\) où \(f\) et \(g\) sont holomorphes, alors pour tout \(\lambda \in \mathbb{C}\), on a également \(\phi = h + \overline{k}\) avec les fonctions holomorphes \(h = f + \lambda\) et \(k = g - \overline{\lambda}\).

2. Réciproquement, prouver que si le domaine de définition de \(\phi\) est connexe par arcs, toutes les décompositions possibles de \(\phi\) comme somme d’une fonction holomorphe et antiholomorphe sont de cette forme.

3. Supposons que la fonction \(\phi\), définie sur un ouvert connexe par arcs, admette une décomposition comme somme de fonction holomorphe et antiholomorphe. Montrer qu’il existe parmi ces décompositions possibles \(\phi = h + \overline{k}\) une seule telle que \(h(0) = 0\).

Soit \(\phi = f + \overline{g} \in \mathrm{Har}(\Delta(0,1))\) avec \(g(0)=0\). Pour tout \(r > 0\), \(\gamma_r\) désigne l’arc dont un représentant est \(t \in [0,2\pi] \mapsto re^{it}\).

1. Soit \(p \in \mathbb{Z}\) et \(r \in \, ]0,1[\). Montrer que \[ \int_{\gamma_r} \overline{g(z)} z^p \, dz = -r^{2(p+1)} \overline{\int_{\gamma_r} g(z) z^{-p-2} \, dz}. \]

2. On note \(\sum_{n \geq 0} a_n z^n\) et \(\sum_{n\geq 1} b_n z^n\) les développements respectifs de \(f\) et \(g\) en série de Taylor dans \(\Delta(0,1)\). Déduire de la question précédente la valeur de \[ \int_{\gamma_r} \phi(z) z^p \, dz \] en fonction des coefficients \((a_n)\) et \((b_n)\).

3. On suppose qu’il existe une fonction continue \(\psi : \overline{\Delta(0,1)} \to \mathbb{C}\) dont la restriction à \(\Delta(0,1)\) soit \(\phi\). Montrer que les valeurs de \(\psi\) sur le cercle \(S(0,1)\) déterminent de façon unique \(f\) et \(g\) (et par conséquent \(\phi\)).

(1pt)

‌Pour tout \(s \in \mathbb{C}\), la fonction \(z \mapsto f(z) e^{-sz}\) est holomorphe (et donc continue) sur \(\mathbb{C} \setminus [0, \ell]\). Par ailleurs, la condition \(r > \ell\) nous garantit que l’intersection de l’image de \(\gamma_r\) et de \([0,\ell]\) soit vide ; \(\gamma_r\) est donc un arc de \(\mathbb{C} \setminus [0,\ell]\). L’intégrale curviligne considérée est donc bien définie.

Les arcs \(\gamma_r\) associés à deux rayons distincts plus grand que \(\ell\) sont homotopes dans \(\mathbb{C} \setminus [0,\ell]\) (se baser par exemple sur une famille d’homothéties de centre \(0\) et de rapport variable). Par le théorème de Cauchy homotopique, les intégrales curvilignes associées sont égales.

(1pt)

‌On a \(j(0,\gamma_r)=-1\). On peut alors remarquer que tout \(a\in [0,\ell]\) appartient à la même composante connexe par arcs de \(\mathbb{C} \setminus \mathrm{Im} \, \gamma_r\) que \(0\) et en conclure que \(j(a,\gamma_r)=-1\).

(2pt)

‌La fonction \(z \mapsto -\frac{1}{i2\pi} \frac{1}{z} e^{-sz}\) est holomorphe sur \(\mathbb{C}^*\). L’origine est donc sa seule singularité (isolée) ; le lacet \(\gamma_r\) est homotope à zéro dans \(\mathbb{C}^* \cup \{0\}= \mathbb{C}\) (qui est convexe) et \(j(0,\gamma_r)=-1\). Le théorème des résidus nous fournit donc \[ \mathrm{L}[g](s) = - \frac{1}{i2\pi} \int_{\gamma_r} \frac{e^{-sz}}{z} \, dz = \mathrm{Rés}\left(z\mapsto\frac{e^{-sz}}{z} , 0\right). \] Les fonctions \(F(z) = e^{-sz}\) et \(G(z) = z\) sont holomorphes sur \(\mathbb{C}\), \(F(0) = 1\) et \(G'(0) = 1 \neq 0\), par conséquent \[ \mathrm{L}[g](s) = 1. \]

(1pt)

‌Sur \(\mathbb{C} \setminus [0,\ell]\), les fonctions \(f\) et \(z\mapsto e^{-sz}\) sont holomorphes, et donc leur produit \(p: z \mapsto f(z) e^{-sz}\). La règle de dérivée d’un produit fournit \[ p'(z) = f'(z) e^{-sz} - f(z) s e^{-sz}, \] par conséquent, \[ \mathrm{L}[f'](s) = s \mathrm{L}[f](s) + \int_{\gamma_r} p'(z) \, dz. \] L’intégrale de \(p'\) – qui est une fonction holomorphe – le long d’un lacet étant nulle, on en conclut que \[ \mathrm{L}[f'](s) = s \mathrm{L}[f](s). \]

(1.5pt)

‌Si \(f\) est définie et holomorphe sur \(\mathbb{C} \setminus [0, \ell]\), \(f_1\) est définie et holomorphe sur \(\mathbb{C} \setminus [0, \ell+1]\). Par conséquent, si \(\gamma_r\) a pour représentant \(t \in [0, 2\pi] \mapsto (\ell+2) e^{-it}\), on a \[ \mathrm{L}[f_1](s) = \int_{\gamma_r} f(z-1) e^{-sz} \, dz = e^{-s}\left[\int_{\gamma_r} f(z-1) e^{-s(z-1)} (z-1)'\, dz\right] . \] Le changement de variable \(g(z) = z-1\) fournit donc \[ \mathrm{L}[f_1](s) = e^{-s}\left[ \int_{g(\gamma_r)} f(z) e^{-sz} \, dz \right] \] et \(g(\gamma_r) = \gamma_r - 1\) est homotope à \(\gamma_r\) dans \(\mathbb{C} \setminus [0,\ell]\) (une famille de translations horizontales bien choisie fournit un exemple d’homotopie de \(\gamma_r\) sur \(\gamma_r - 1\).). Par conséquent \[ \mathrm{L}[f_1](s) = e^{-s}\left[\int_{\gamma_r} f(z) e^{-sz} \, dz \right] = e^{-s} \times \mathrm{L}[f](s). \]

(2.5pt)

‌La fonction composée \[ h(z) = -\frac{1}{i2\pi} \log_{-\pi} \frac{z}{z-1} \] est bien définie sur \(\mathbb{C} \setminus [0, 1]\). En effet, pour que l’expression du second membre ne soit pas définie il faut que \(z=1\) – ce qui est exclu – ou que \(z/(z-1) \in \mathbb{R}_-\). Dans ce second cas, on aurait \(z/(z-1) = -\lambda\) avec \(\lambda \geq 0\) et donc \(z = \lambda/(1+\lambda) \in [0, 1[\,\), ce qui est également exclu. La fonction \(h\) est par ailleurs holomorphe comme composée de fonctions holomorphes.

La dérivée de \(h\) en \(z\) vaut \[ h'(z) = -\frac{1}{i2\pi} \left[\frac{1}{z} - \frac{1}{z-1}\right]. \] Par conséquent, les résultats des questions précédentes nous fournissent pour tout \(s\in \mathbb{C}\) \[ s \times \mathrm{L}[h](s) = 1 - e^{-s}, \] soit pour tout \(s\in \mathbb{C}^*\) \[ \mathrm{L}[h](s) = \frac{1-e^{-s}}{s}. \]

(3pt)

‌Pour tout \(s, z \in \mathbb{C}\), on a \[ e^{-sz} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} (-sz)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-s)^n}{n!} z^n. \] Pour un \(s\in \mathbb{C}\) fixé, ce développement converge, uniformément par rapport à la variable \(z\) quand elle décrit un ensemble compact dans \(\mathbb{C}\). On a par conséquent \[ \mathrm{L}[h](s) = \int_{\gamma_r} h(z) \left[ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-s)^n}{n!} z^n \right] \, dz = \sum_{n=0}^{+\infty} \left[ \int_{\gamma_r} h(z) \frac{(-z)^n}{n!} \, dz\right] s^n, \] qui est un développement de Taylor de \(s\mapsto \mathrm{L}[h](s)\) valable pour tout \(s\in \mathbb{C}\), cette fonction est donc holomorphe sur \(\mathbb{C}\).

(1pt)

‌La fonction \(s \in \mathbb{C} \mapsto \mathrm{L}[h](s)\) est holomorphe, elle est donc continue en \(0\) et par conséquent \[ \mathrm{L}[h](0) = \lim_{s \to 0} - \frac{e^{-s}-1}{s} = -(s \mapsto e^{-s})'(0) = 1. \]

1. (1.0pt)

   ‌La function \(\phi: (x, y) \in \mathbb{C} \to x^2 - y^2\) ne satisfait pas les conditions de Cauchy en tout point de \(\mathbb{C}\) et n’y est donc pas holomorphe. En effet, la fonction \(\phi\) est à valeurs réelles – c’est-à-dire que \(\Re \phi(x,y) = \phi(x,y)\) et \(\Im \phi(x,y)=0\). Or \[ \frac{\partial}{\partial x} \phi(x,y) = 2 x, \; +\frac{\partial}{\partial y} 0 = 0, \; \frac{\partial}{\partial y} \phi(x,y) = -2 y, \; -\frac{\partial}{\partial x} 0 = 0; \] les conditions de Cauchy sont satisfaites si et seulement si \(2x =0\) et \(2y=0\), c’est-à-dire à l’origine uniquement.

2. (1.5pt)

   ‌La function \(\phi\) est la partie réelle de la fonction \(h: z \in \mathbb{C} \mapsto z^2\) qui est holomorphe en tant que polynôme. En effet, \[ (x+iy) \times (x+iy) = (x^2 - y^2) + i(2xy). \] Si l’on n’a pas cette intuition, on peut progresser en raisonnant par conditions nécessaires: si \(f\) est holomorphe de partie réelle \(\phi\), sa partie imaginaire \(\psi\) satisfait nécessairement les conditions de Cauchy: \[ \frac{\partial}{\partial x} \psi(x,y) = - \frac{\partial }{\partial y} \phi(x,y) = 2y \; \mbox{ et } \; \frac{\partial}{\partial y} \psi(x,y) = +\frac{\partial }{\partial x} \phi(x,y) = 2x. \] Cela suggère de tester \(\psi(x,y) = 2xy\) et donc de vérifier que la fonction \(h(x,y) = (x^2-y^2) +i(2xy)\) répond bien au problème¹.

3. (1pt)

   ‌La function \(\phi\) est la partie réelle de la fonction holomorphe \(h: z \in \mathbb{C} \mapsto z^2\), c’est-à-dire que \(\phi = (h + \overline{h}) / 2\), donc \(\phi = f + \overline{g}\) avec \(f= g = h/2\), holomorphe sur \(\mathbb{C}\). Par conséquent, \(\phi \in \mathrm{Har}(\mathbb{C})\).

1. (1.5pt)

   ‌Soient \(f \in \mathcal{H}(\Omega)\) et \(g \in \mathcal{H}(\Omega)\). La fonction \(f\) est \(\mathbb{R}\)-différentiable car \(\mathbb{C}\)-différentiable et la fonction \(\overline{g}\) est la composition de la fonction \(g\), \(\mathbb{R}\)-différentiable car \(\mathbb{C}\)-différentiable, et de la fonction de conjugaison \(c: z\mapsto \overline{z}\), \(\mathbb{R}\)-differentiable car \(\mathbb{R}\)-linéaire (et continue). Par conséquent, \(\phi = f + \overline{g}\) est \(\mathbb{R}\)-différentiable.

2. (1.5pt)

   ‌Pour tout \(z \in \Omega\), la règle de différentiation de fonctions composées fournit la relation \(d\phi_z = df_z + dc_{g(z)} \circ dg_z\). Les fonctions \(f\) et \(g\) étant holomorphes, pour tout \(h \in \mathbb{C}\), \(df_z(h) = f'(z) \times h\) et \(dg_z(h) = g'(z) \times h\). La function \(c\) étant \(\mathbb{R}\)-linéaire, \(dc_{g(z)} = c\). Par conséquent, \[ d\phi_z (h) = f'(z) \times h + \overline{g'(z) \times h}. \]

3. (1.0pt)

   ‌L’utilisation pour \(z=(x,y)\) des identités \[ \frac{\partial \phi}{\partial x}(x,y) = d\phi_{(x,y)} (1) \; \mbox{ et } \; \frac{\partial \phi}{\partial y}(x,y) = d\phi_{(x,y)}(i), \] fournit les relations \[ \frac{\partial \phi}{\partial x}(x,y) = f'(z) + \overline{g'(z)} \; \mbox{ et } \; \frac{\partial \phi}{\partial y}(x,y) = i (f'(z) - \overline{g'(z)}). \] et leur combinaison mène à \[ f'(z) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\partial \phi}{\partial x}(x,y) - i \frac{\partial \phi}{\partial y}(x,y) \right] \mbox{ et } g'(z) = \overline{\frac{1}{2} \left[ \frac{\partial \phi}{\partial x}(x,y) + i \frac{\partial \phi}{\partial y}(x,y) \right]}. \]

4. (1.5pt)

   ‌La fonction \(\phi: (x,y) \in \mathbb{C} \mapsto x^2+y^2\) n’appartient pas à \(\mathrm{Har}(\mathbb{C})\). En, effet, si l’on avait la décomposition \(\phi = f + \overline{g}\), les relations ci-dessus fourniraient l’expression de \(f'\): \[ f'(z) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\partial \phi}{\partial x}(x,y) - i \frac{\partial \phi}{\partial y}(x,y) \right] = x - i y = \overline{z}. \] D’une part la fonction de conjugaison n’est pas holomorphe, d’autre part la fonction \(f'\) est nécessairement holomorphe comme dérivée de fonction holomorphe: on aboutirait donc à une contradiction.

1. (0.5pt)

   ‌Soit \(\lambda \in \mathbb{C}\). Si \(\phi = f + \overline{g}\) où \(f\) et \(g\) sont holomorphes, alors les fonctions \(f + \lambda\) et \(g - \overline{\lambda}\) le sont également et l’on a bien \[ (f + \lambda) + \overline{(g - \overline{\lambda})} = f + \overline{g} = \phi. \]

2. (1.5pt)

   ‌Réciproquement, si \(\phi \in \mathrm{Har}(\Omega)\) admet les deux décompositions \(\phi = f + \overline{g} = h + \overline{k}\), d’après les résultats de la question précédente, on a \(h' = f'\) et \(k' = g'\). L’ensemble \(\Omega\) étant connexe, \(h\) et \(f\) diffèrent d’une constante \(\lambda \in \mathbb{C}\) et \(k\) et \(g\) d’une constante \(\mu \in \mathbb{C}\). Comme \(\phi = f + \overline{g} = h + \overline{k} = f+\lambda + \overline{g + \mu} = \phi + (\lambda + \overline{\mu})\), il est nécessaire que l’on ait \(\mu = -\overline{\lambda}\), et donc \((h, k) = (f + \lambda, g -\overline{\lambda})\).

3. (0.5pt)

   ‌Le domaine de définition de \(\phi\) étant connexe, d’après le résultat de la question précédente, si \(\phi = f + \overline{g}\) est une décomposition de \(\phi\), toutes les autres sont de la forme \(\phi = h + \overline{k}\) où \(h = f + \lambda\) et \(k = g - \overline{\lambda}\). Il est clair que le choix de \(\lambda = - f(0)\) permet d’obtenir \(h(0) = 0\) et que c’est le seul qui ait cette propriété.

1. (1.5pt)

   ‌On a \[ I := \int_{\gamma_r} \overline{g(z)} z^p \, dz = \int_0^{2\pi} \overline{g(re^{it})} (re^{it})^p (ire^{it} \, dt) \] et donc \[ I = \overline{\int_0^{2\pi} {g(re^{it})} (re^{-it})^p (-ire^{-it} \, dt)} \] ou encore \[ I = - r^{2(p+1)}\overline{\int_0^{2\pi} \frac{g(re^{it})}{(re^{it})^{p+2}} (ire^{it} \, dt)} = - r^{2(p+1)} \overline{\int_{\gamma_r} g(z) z^{-p-2} dz}. \]

2. (1.5pt)

   ‌Comme \[ \int_{\gamma_r} \phi(z) z^p \, dz = \int_{\gamma_r} f(z) z^p \, dz + \int_{\gamma_r} \overline{g(z)} z^p \, dz \] on déduit du résultat que l’on vient d’établir que \[ \int_{\gamma_r} \phi(z) z^p \, dz = \int_{\gamma_r} f(z) z^p \, dz - r^{2(p+1)} \overline{\int_{\gamma_r} {g(z)} z^{-p-2} \, dz}. \] Si l’on note \((a_n)\) et \((b_n)\) les coefficients du développement en série de Laurent de \(f\) et \(g\) dans \(\Delta(0,1) \setminus \{0\}\) (ce qui revient à poser \(a_n = 0\) pour \(n < 0\) et \(b_n = 0\) pour \(n \leq 0\)), alors \[ \int_{\gamma_r} \phi(z) z^p \, dz = (i2\pi) [ a_{-p-1} + r^{2(p+1)} \overline{b_{p+1}}]. \]

3. (2pt)

   ‌Si \(\phi\) admet une extension continue \(\psi\) sur l’adhérence de \(\Delta(0,1)\), alors en passant à la limite l’égalité précédente quand \(r \to 1^-\), on obtient² \[ \int_{\gamma_1} \psi(z) z^p \, dz = (i2\pi) [a_{-p-1} + \overline{b_{p+1}}], \] autrement dit, pour \(n \geq 0\), \[ a_n = \frac{1}{i2\pi} \int_{\gamma_1} \psi(z) z^{-n-1} \, dz, \] et pour \(n\geq 1\), \[ b_n = \overline{\frac{1}{i2\pi} \int_{\gamma_1} \psi(z) z^{n-1} \, dz}, \]
   les fonctions \(f\) et \(g\) sont donc déterminées de façon unique.